卡特兰数（Catalan number），这个名字听起来或许有些陌生，但它却在数学与计算机科学中扮演着重要角色。简单来说，卡特兰数是一组特殊的整数序列，由比利时数学家欧仁·查尔斯·卡塔兰提出。它们常用于解决组合数学中的计数问题。

🔍 原理

卡特兰数的核心在于递推关系式：\[ C(n) = \sum_{i=0}^{n-1} C(i) \times C(n-1-i) \]，其中 \( C(0) = 1 \)。这个公式看似复杂，但其实它描述了某种结构上的对称性。例如，在括号匹配问题中，卡特兰数可以计算合法的括号排列方式。

🎯 应用

卡特兰数的应用广泛，比如二叉树的构造、网格路径问题等。想象一下，在一个 \( n \times n \) 的方格中，从左下角走到右上角而不跨越对角线的路径总数就是卡特兰数！这种性质让卡特兰数成为算法设计中的利器。

💡 总之，卡特兰数不仅是数学领域的一颗璀璨明珠，更是程序员手中的实用工具。掌握它，你将解锁更多解决问题的新思路！✨

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